“APLICACIONES DEL CALCULO”

El cálculo diferencial forma junto con el cálculo integral una de las ramas más importantes de las matemáticas.

Vivimos en un mundo caracterizado por cambios continuos. Es importante desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar cambios. Justamente esto es el propósito del cálculo diferencial, que es la matemática de los CAMBIOS.

Todo el cálculo diferencial se puede reducir a su concepto fundamental, la razón de cambio.

Determinar razones de cambio de procesos continuos es muchas veces más importante que estudiar estos procesos. Siempre que dos magnitudes (Variables) estén conectadas mediante una relación funcional (función) se puede estudiar el cambio relativo de una de las magnitudes con respecto a la otra.

Un ejemplo típico de una razón de cambio es lo que físicamente se conoce como velocidad. Una velocidad es la razón (cociente) entre una distancia y un tiempo y describe el cambio de la posición de un cuerpo con respecto al tiempo transcurrido. Si hablamos de velocidad de un coche es fácil ver que una velocidad grande (p. ej. 120km/h) significa un cambio grande en la posición, un desplazamiento de 120 km por cada hora. Una velocidad pequeña (p ej. 30km/h) se puede interpretar como un cambio pequeño de posición, solamente avanzamos 30 Km por cada hora.

Hay numerosos ejemplos en la vida diaria y en las ciencias en donde nos interesa el cambio relativo de una magnitud con respecto a la otra. Esto puede ser importante para determinar los resultados de un proceso o ayudarnos para pronosticar el futuro del mismo. El conocer las razones de cambio también puede ser útil para buscar factores que controlen los procesos y sus cambio.

Ejemplo: Si un medico esta midiendo el pulso de un paciente y nota un cambio repentino, va a investigar las causas de este cambio. Los polígrafos, o detectores de mentiras, están basados en este principio: un cambio repentino de pulso o respiración indican un cambio en el estado emocional del individuo. Si una enfermera mide la fiebre de un paciente y traza la curva correspondiente se va a fijar especialmente en cambios bruscos en la temperatura.

Ciertas razones de cambio tienen nombres especiales: la razón de cambio del tamaño de una persona se llama tasa de crecimiento, la razón de cambio de la posición de un vehículo con respecto al tiempo se llama velocidad, la razón de cambio de la temperatura de un líquido se llama velocidad de enfriamiento. En la economía interesan, por ejemplo, la razón de cambio de la productividad de una empresa, la razón de cambio del índice de precios a nivel naciones. Una importante razón de cambio es también la tasa de natalidad de una nación que describe el incremento de la población.

Un aspecto fundamental de las relaciones funcionales cuyos cambios se estudian en el cálculo diferencial es el de la continuidad. Esto significa que una relación es completa, sin interrupciones o saltos bruscos. Gráficamente estas funciones se representan como segmentos de líneas rectas o curvas y no como una colección de puntos aislados entre si.

Otro aspecto importante es el de la pendiente. Todos tenemos nociones intuitivas a cerca de pendientes y de como comparar las inclinaciones de varias pendientes. Por ejemplo, sabemos que cuesta mas trabajo subir una montaña muy empinada (pendiente grande) o que el agua de un río corre mas rápido y corroe mas su lecho si tiene mucha pendiente. La medida de estas y todas las pendientes de una curva están íntimamente relacionadas con el concepto de la razón de cambio

Cuestionario

1. ¿Cuál es el propósito del cálculo diferencial?
2. ¿Cuál es el concepto fundamental del cálculo diferencial?
3. ¿Qué se puede estudiar en cualquier relación funcional?
4. Da ejemplos de razones de cambio que se utilizan en diferentes áreas?
5. ¿Qué es la velocidad?
6. ¿Qué es la pendiente de una recta?
7. ¿Cómo se mide la pendiente de una curva?
8. ¿Cómo se mide la razón de cambio promedio entre dos puntos de una función?
9. ¿Cómo se mide una razón de cambio instantáneo de una función en un punto?
10. ¿Cuáles son las diferencias entre las matemáticas convencionales y las matemáticas apoyadas en el calculo